AFA 2016-2017 - Questão 18 (Segunda de matemática)

O polinômio P(x) = x³ + mx² + nx + 12 é tal que P(x) = 0 admite as raízes x1, x2 e x3. Se x1.x2 = -3 e x2+x3 = 5, então é correto afirmar que
a) P(m) = 0
b) m- n = -13
c) m.n = 20
d) n - 2m = -7

O QUE VOCÊ PRECISA PARA FAZER ESTA QUESTÃO:

• Conhecimento sobre as relações de Girard

Para começar, vou dar um breve resumo sobre as relações de Girard no polinômio de 3° grau.
Muitas pessoas entendem as relações de Girard nos polinômios de 2° grau, em que sua aplicação é feita através da soma e produto.
Para os polinômios de 3° grau as ideias são semelhantes. Estudando a fundo, você perceberá que na verdade é sempre da mesma forma, só modificando o número de variáveis.

*Lembre-se: A única forma de encontrar as raízes de polinômios acima de 2° grau é através das relações de Girard, então é muito importante que você estude esse assunto a fundo.

A forma "básica" de um polinômio do 3°grau é: ax³ + bx² + cx + d
"a", "b" e "c" são os coeficientes da variável x e "d" é o termo independente do polinômio.

Como o polinômio é do grau 3, possui 3 raízes. Lembra que no polinômio do segundo grau, para achar -b/a bastava somar as duas raízes? No do terceiro grau acontece o mesmo.

Logo: x1 + x2 + x3 = -b/a     (x1, x2 e x3 são as raízes do polinômio).

No polinômio do 2° grau, as duas raízes multiplicadas são iguais a c/a. No do grau 3, será assim:

x1.x2 + x1.x3 + x2.x3 = c/a

E como você tem mais um termo, que é o independente, há mais uma relação que o envolve:

x1.x2.x3 = -d/a

Resolução:

Com base nisso tudo, fica fácil entender a questão!

Sabemos que x1.x2 = -3 e que x2+x3 = 5

Comecemos utilizando a segunda relação dada (x2 + x3 = 5)

Se x1 + x2 + x3 = -b/a, substituindo com o que sabemos do polinômio, temos que:

x1 + x2 + x3 = -m

x2 + x3 é igual a 5, então  x1 + 5 = -m
Assim, x1 = -m - 5

A questão nos disse que x1.x2 = -3. Sabemos quanto vale o "d", pois no polinômio d é igual a 12. Utilizando a terceira relação, descobrimos que

-3.x3 = -12

Logo, x3 = -12/-3 = 4

 

Podemos agora substituir o que já sabemos na primeira relação que usamos.

-m - 5 + x2 + 4 = -m

x2 = 5 - 4 + m - m

x2 = 1

 

Agora fica fácil encontrar o valor de x1:

x1.x2 = -3

x1.1 = -3

x1 = -3

 

Agora, sabemos o valor das três raízes!

x1: -3

x2: 1

x3: 4

 

Com isso, podemos encontrar os valores que faltam(m e n) para encontrar a resposta correta.

-3 + 1 + 4 = -m

-m = 2

m = -2

 

-3.1 + -3.4 + 4.1 = n

-3 -12 + 4 = n

n = -11

 

Analisando as opções:

a) é falsa: P(-2) = (-2)³ - 2(-2)² - 11(-2) + 12

P(-2) = (-2)³ - 2(-2)² - 11(-2) + 12 = -8 - 8 + 22 + 12 = 34 - 16 = 18

b) é falsa: -2 - (-11) = -2 + 11 = 9

c) é falsa: (-2).(-11) = 22

d) é VERDADEIRA: -11 - (2(-2)) = -11 + 4 = -7

Assim, a resposta é letra d.