AFA 2010-2011 - Questão 41 (Primeira de física)

Um turista, passeando de bugre pelas areias de uma praia em Natal – RN, percorre uma trajetória triangular, que pode ser dividida em três trechos, conforme a figura abaixo.

Os trechos B e C possuem o mesmo comprimento, mas as velocidades médias desenvolvidas nos trechos A, B e C foram, respectivamente, v, 2v e v.

A velocidade escalar média desenvolvida pelo turista para percorrer toda a trajetória triangular vale

O QUE VOCÊ PRECISA PARA FAZER ESTA QUESTÃO:

• Conhecimento sobre triângulos
• Conhecimento sobre a fórmula de velocidade média (V = S/t)
• Conhecimento sobre fatoração e manipulações algébricas

A maioria das correções na internet faz toda essa questão de uma vez, mas vou fazê-la passo à passo pois penso que é a forma mais fácil de entendê-la. Todas as questões da AFA são fáceis se explicadas do jeito certo.

Resolução:

A questão diz que C e B têm o mesmo comprimento. Vamos então chamá-lo de x.

Como ABC é um triângulo retângulo, como a figura deixa claro, podemos usar o teorema de pitágoras para encontrar o valor de sua hipotenusa, que é o A.

A² = B² + C² → Sabemos que B e C são iguais a x, então A² = x² + x², o que é igual a 2x².

Tirando a raiz, temos que A = √ 2x², o que podemos concluir, ao tirar a raiz do 2 e do x², que será igual a √ 2 . x

Agora que temos as distâncias, vamos aplicá-las na fórmula da velocidade média, pois assim encontraremos o tempo equivalente para cada ponto. (Precisamos encontrar o tempo porque faremos a conta com base nele. Como Vm (velocidade média) = S (deslocamento)/t(tempo), temos que t = S/Vm. Esse é o caminho mais rápido para encontrar a velocidade média total, pois a total será igual a t(total) = S(total)/Vm(total), que nada mais é do que a soma das três partes).

Vm em A = v → V = √ 2 . x/t1 → t1 = √ 2 . x/V

Vm em B = 2v → V = 2V/t2 → t2 = x/2V

Vm em C = v → V = x/t3 → t3 = x/V

Temos agora o tempo das três partes. Para encontrar o tempo total, basta que somemos os três tempos.

Então t(total) = t1 + t2 + t3

E o próprio t(total) = S(total)/Vm(total)

Substituindo tudo isso pelas respectivas fórmulas, temos:

S(total)/Vm(total) = √ 2 . x/V + x/2V + x/V

Sabemos que S(total) é a soma dos deslocamentos no triângulo. Então S(total) = √ 2 . x + 2x

Assim, a conta fica com uma só incógnita:

√ 2 . x + 2x/Vm(total) = √ 2 . x/V + x/2V + x/V

Para prosseguir, precisamos igualar os denominadores, então faremos MMC.

√ 2 . x + 2x/Vm(total) = 2√ 2 . x + x + 2x/2V

Agora, colocamos o x em evidência nos dois lados, porque ele está presente em todos os termos das somas.

x(√ 2 + 2)/Vm(total) = x(2√ 2 + 3)/2V 

Agora, multiplicando cruzado, as coisas ficam bem mais simples.

Vm(total) = 2V . x(√ 2 + 2)/x(2√ 2 + 3)

Como x está multiplicando em cima e embaixo, o cortamos.

Vm(total) = 2v . (√ 2 + 2)/2√ 2 + 3

Temos uma conta bem mais enxuta e fácil de resolver. Só precisamos fazer com que aquela raiz na divisão seja eliminada, porque não pode haver raiz no denominador. Para isso, multiplicamos pelo conjugado do denominador (Ou seja, a parte com raiz fica negativa e a parte sem raiz continua com o mesmo sinal).

2v . (√ 2 + 2) . (-2√ 2 + 3) / 2√ 2 + 3 . (-2√ 2 + 3)

(Para que não fique muito enrolado de entender, vou fazer separadamente cada conta, a do numerador e do denominador.

1°: Numerador

Como temos dois termos multiplicados entre si no numerador, você só pode escolher qual vai multiplicar pelo terceiro que foi adicionado quando estamos eliminando a raiz do denominador. A melhor opção nesse caso é multiplicar direto o segundo termo (√ 2 + 2), já que você vai eliminar um grande trabalho ao fazer isso, mas se multiplicar por 2v e depois resolver tudo também vai achar o mesmo resultado.

√ 2 + 2 . (-2√ 2 + 3) = -2.(2) + 3√ 2 – 4√ 2 + 6

Organizando a conta: 6-4 + 3√ 2 - 4√ 2 = 2 - √ 2

2°: Denominador

2√ 2 + 3 . (-2√ 2 + 3) = -4.(2) + 6√ 2 - 6√ 2 + 9

Organizando a conta: 9-8 + 6√ 2 - 6√ 2 = 1

Novamente juntando tudo, temos:

Vm(total) = 2v (2 - √ 2)/1

Vm(total) = v(4 - 2√ 2)

Assim, a resposta é letra D.

Qualquer dúvida, pode deixar nos comentários, se eu souber responderei!