AFA 2011-2012 - Questão 5 (Quinta de matemática)

Para evitar que João acesse sites não recomendados na internet, sua mãe quer colocar uma senha no computador formada apenas por m letras A e também m letras B (sendo m par). Tal senha, quando lida da esquerda para a direita, ou da direita para a esquerda, não deverá se alterar. (Ex.: ABBA).
Com essas características, o número máximo de senhas distintas que ela poderá criar para depois escolher uma é igual a:

Resolução:

Como fica evidente, essa é uma questão sobre análise combinatória. A sacada para conseguir resolvê-la, porém, é entender que a senha será um palíndromo, ou seja, uma combinação que tem duas metades "espelhadas".

Apesar da tentação de querer fazer uma permutação com todos os números (ou seja, 2m), se você fizer isso acabará errando a questão. A letra a é uma pegadinha exatamente por isso.

Num palíndromo, você só permutará a primeira metade, já que a segunda será igual.
Ao todo, você tem 2m letras, já que tem m letras A e m letras B. Numa metade, então, você terá m letras.

Sua permutação, nesse caso, será feita com m letras. Porém, precisa levar em conta que A e B estão repetidas dentro desse conjunto. Se na senha inteira você tem m letras A e m letras B, na metade, logicamente, terá m/2 letras A e m/2 letras B.

Sua permutação, então será de m letras (metade do total) com a ressalva de que m/2 A e m/2 B estão repetidas.

Colocando na forma de permutação:

m!/(m/2)!(m/2)!

A resposta é a letra D.

Dica:

Uma boa forma de fazer essa questão seria substituir m por um número par qualquer, para ajudar a visualizar melhor a ideia. Fica muito vago fazer com "m" letras, mas se você disser que são 2, por exemplo, fica bem mais fácil.