Um turista, passeando
de bugre pelas areias de uma praia em Natal – RN, percorre uma
trajetória triangular, que pode ser dividida em três trechos,
conforme a figura abaixo.
Os trechos B e C
possuem o mesmo comprimento, mas as velocidades médias desenvolvidas
nos trechos A, B e C foram, respectivamente, v, 2v e v.
A velocidade escalar
média desenvolvida pelo turista para percorrer toda a trajetória
triangular vale
O QUE VOCÊ PRECISA
PARA FAZER ESTA QUESTÃO:
Conhecimento sobre
triângulos
Conhecimento sobre
a fórmula de velocidade média (V = S/t)
Conhecimento sobre
fatoração e manipulações algébricas
A maioria das correções
na internet faz toda essa questão de uma vez, mas vou fazê-la passo
à passo pois penso que é a forma mais fácil de entendê-la. Todas
as questões da AFA são fáceis se explicadas do jeito certo.
Resolução:
A questão diz que C e
B têm o mesmo comprimento. Vamos então chamá-lo de x.
Como ABC é um
triângulo retângulo, como a figura deixa claro, podemos usar o
teorema de pitágoras para encontrar o valor de sua hipotenusa, que é
o A.
A² = B² + C² →
Sabemos que B e C são iguais a x, então A² = x² + x², o que é
igual a 2x².
Tirando a raiz, temos
que A = √ 2x², o que podemos concluir, ao tirar a raiz do 2 e do
x², que será igual a √ 2 . x
Agora que temos as
distâncias, vamos aplicá-las na fórmula da velocidade média, pois
assim encontraremos o tempo equivalente para cada ponto. (Precisamos
encontrar o tempo porque faremos a conta com base nele. Como Vm
(velocidade média) = S (deslocamento)/t(tempo), temos que t = S/Vm.
Esse é o caminho mais rápido para encontrar a velocidade média
total, pois a total será igual a t(total) = S(total)/Vm(total), que
nada mais é do que a soma das três partes).
Vm em A = v → V = √
2 . x/t1 → t1 = √ 2 . x/V
Vm em B = 2v → V =
2V/t2 → t2 = x/2V
Vm em C = v → V =
x/t3 → t3 = x/V
Temos agora o tempo das
três partes. Para encontrar o tempo total, basta que somemos os três
tempos.
Então t(total) = t1 +
t2 + t3
E o próprio t(total) =
S(total)/Vm(total)
Substituindo tudo isso
pelas respectivas fórmulas, temos:
S(total)/Vm(total) = √
2 . x/V + x/2V + x/V
Sabemos que S(total) é
a soma dos deslocamentos no triângulo. Então S(total) = √ 2 . x +
2x
Assim, a conta fica com
uma só incógnita:
√ 2 . x +
2x/Vm(total) = √ 2 . x/V + x/2V + x/V
Para prosseguir,
precisamos igualar os denominadores, então faremos MMC.
√ 2 . x +
2x/Vm(total) = 2√ 2 . x + x + 2x/2V
Agora, colocamos o x em
evidência nos dois lados, porque ele está presente em todos os
termos das somas.
x(√ 2 + 2)/Vm(total)
= x(2√ 2 + 3)/2V
Agora, multiplicando
cruzado, as coisas ficam bem mais simples.
Vm(total) = 2V . x(√
2 + 2)/x(2√ 2 + 3)
Como x está
multiplicando em cima e embaixo, o cortamos.
Vm(total) = 2v . (√ 2
+ 2)/2√ 2 + 3
Temos uma conta bem
mais enxuta e fácil de resolver. Só precisamos fazer com que aquela
raiz na divisão seja eliminada, porque não pode haver raiz no
denominador. Para isso, multiplicamos pelo conjugado do denominador
(Ou seja, a parte com raiz fica negativa e a parte sem raiz continua
com o mesmo sinal).
2v . (√ 2 + 2) . (-2√
2 + 3) / 2√ 2 + 3 . (-2√ 2 + 3)
(Para que não fique
muito enrolado de entender, vou fazer separadamente cada conta, a do
numerador e do denominador.
1°: Numerador
Como temos dois termos
multiplicados entre si no numerador, você só pode escolher qual vai
multiplicar pelo terceiro que foi adicionado quando estamos
eliminando a raiz do denominador. A melhor opção nesse caso é
multiplicar direto o segundo termo (√ 2 + 2), já que você vai
eliminar um grande trabalho ao fazer isso, mas se multiplicar por 2v
e depois resolver tudo também vai achar o mesmo resultado.
√ 2 + 2 . (-2√ 2 +
3) = -2.(2) + 3√ 2 – 4√ 2 + 6
Organizando a conta:
6-4 + 3√ 2 - 4√ 2 = 2 - √ 2
2°: Denominador
2√ 2 + 3 . (-2√ 2 +
3) = -4.(2) + 6√ 2 - 6√ 2 + 9
Organizando a conta:
9-8 + 6√ 2 - 6√ 2 = 1
Novamente juntando
tudo, temos:
Vm(total) = 2v (2 - √
2)/1
Vm(total) = v(4 - 2√
2)
Assim, a resposta é
letra D.
Qualquer dúvida, pode deixar nos comentários, se eu souber responderei!
